원들대 02: 대칭군의 정의

제 2편: 대칭군의 정의


오늘의 목표:

  1. 비아벨군에 대해서 배워봅시다.
  2. 순열에 대해서 알아봅시다.
  3. 대칭군을 정의하고, 대칭군이 비아벨군임을 보여봅시다.

네, 안녕하세요. 원들대의 원생입니다. 지난 시간에는 군의 정의를 살펴보았고, 또한 가환성이 성립하는 군, 이른바 아벨군의 두 예제를 살펴보았습니다. 바로 덧셈군곱셈군을 말이죠. 더 나아가 무한군유한군의 예제를 살펴보았습니다. 이번 시간에는 가환성을 만족하지 않는 군에 대해서 알아볼까 합니다. 저번 시간에 집합 G가 연산자 *에서 군이 된다면 이를 (G,*)라고 표기한다고 말씀드렸죠? 만약 이 연산자 *가 가환성을 만족하지 않는다면, 다시 말해 G a *b \neq b* a을 만족하는 원소쌍 a,b가 하나라도 존재한다면 이 G비아벨군(non-abelian group)이라고 부릅니다.

오늘 살펴볼 비아벨군의 예제로는 대칭군(symmetric group)이 있겠습니다. 대칭군은 순열(permutation)으로 이루어진 집합인데, 순열에 가장 대표적인 예로는 사다리타기가 있겠습니다. 아마 여러분들도 술자리나 친구들과 같이 복불복을 즐기면서 사다리타기를 해보신 적이 있을거에요. 사다리타기는 각기 다른 시작점에서 모두 다른 끝점에 도달한다는 흥미로운 성질이 있습니다. 예컨대 4개의 줄이 그려진 사다리 타기를 가정하고, 시작점은 1, 2, 3, 4로 끝점은 a, b, c, d로 번호를 매겨봅시다. 만약 1번 시작점은 c번 끝점으로, 2번 시작점은 b번 끝점으로, 3번 시작점은 d번 끝점으로, 마지막으로 4번 시작점은 a번 끝점으로 간다면, 이는 다음과 같은 함수로 여겨질 수 있습니다.

f(1) = c, f(2) = b, f(3) = d, f(4)=a.

자, 함수f(x) 정의역(domain) 크기, x 들어갈 있는 값의 개수는 1,2,3,4로 총 4개입니다. 애초에 사다리가 4개의 줄밖에 없기 때문이죠. 그리고 역(codomain) 크기, 결과의 값의 개수도 마찬가지로 a, b, c, d 4개입니다. 함수는 두개의 다른 값을 대입했을 같은 값이 나오지 않습니다. , x y 1 4 사이의 다른 숫자라면, f(x) f(y) 결과는 같지 않습니다. 이를 단사(injectivity; one-to-one)라고 부릅니다. 또한 치역의 모든 원소, a, b, c, d 상응하는 정의역의 원소가 존재합니다. 이를 전사(surjectivity; onto)라고 일컫습니다. 함수는 전사이며 동시에 단사이므로 이를 전단사(bijectivity)라고 합니다. 순열이란 이런 이런 전단사 함수들을 말합니다.


심화: 함수 f가 집합 A, B를 각각 정의역과 공역으로 삼는다면, 이를 f: A \to B로 표기하곤 합니다. 여기서 xA의 원소라 할 때, f(x)로 이루어진 집합, 즉 함수 f의 출력값의 집합을 치역(range)이라고 부릅니다. 치역이 공역의 부분집합이지만, 간혹 치역이 공역인 경우가 존재합니다. 이 경우 함사를 전사라고 합니다. 이번엔 전사도 단사도 아닌 함수의 예제를 하나 살펴보자면, 실수 \mathbb{R}를 정의역과 공역으로 삼는 함수 f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}를 다음과 같이 정의해봅시다: f(x) = x^2. 이 함수는 단사는 아닙니다. x \neq y이지만 f(x) = f(y)를 만족하는 실수쌍이 존재하기 때문이죠., 예컨대 x= 1, y = -1이 있겠습니다. 또한 전사도 아닙니다. 실수중엔 제곱해서 음수가 되는 수가 없습니다. 즉 이 함수의 치역은 음수가 아닌 모든 실수이나, 공역은 모든 실수이므로 치역이 공역보다 확실히 작습니다.


위의 사다리의 경우로 다시 돌아가봅시다. 이번에는 a, b, c, d 1, 2, 3, 4로 표기했다고 가정해봅시다. 그렇다면 이 사다리타기의 순열은 어떻게 수학적으로 표기하는지 한번 배워봅시다. , 1번 시작점은 3번 끝점으로, 2번 시작점은 2번 끝점으로, 3번 시작점은 4번 끝점으로, 마지막 4번 시작점은 1번 끝점으로 갑니다. 이는 다음과 같이 표기합니다: (134)(2). 이 표기는 왼쪽에서 부터 읽으면 됩니다. 1다음에 오는 숫자는 3이니, 1번 점은 3번 점으로, 3 다음에 오는 숫자가 4 3번 점은 4번 점으로, 4번에서는 괄호가 끊기는 군요, 그러므로 다시 괄호안의 첫번째 항인 1번 점으로 돌아온다고 봐줄 수 있습니다. 마지막으로 2번 점은 2번으로 오니 2 하나만 들어있는 괄호로 표기가 가능합니다. 이렇게 괄호안에 숫자가 하나만 들어가있는 경우는 종종 생략해주기도 합니다. 여기서 각각의 괄호를 순환(cycle)이라고 부릅니다.

자 그렇다면 숫자가 네개로 이루어진 순열은 얼마나 다양한 원소들이 있을까요? 다음과같이 모두 나열해 볼 수 있겠습니다.

(1)(2)(3)(4), (12)(3)(4), (13)(2)(4), (14)(2)(3), (1)(23)(4), (1)(24)(3), (1)(34)(2),

(123)(4), (132)(4), (124)(3), (142)(3), (134)(2), (143)(2), (1)(234), (1)(243),

(12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)

이렇게 총 24개의 원소가 있습니다. 다시 말해, 줄이 4개인 사다리타기는 어떻게 그리든 상관 없이, 위의 24개의 결과 중 하나에 해당한다고 볼 수 있습니다.


문제 1: 그렇다면 줄이 세개인 사다리의 순열은 모두 무엇이 있을까요? 모두 나열해보세요.

문제 2: 위의 제시된 24개의 원소는 필자의 임의대로 모두 첫번째 오는 숫자가 1이 오도록 적었습니다. 사실 첫번째 숫자가 1이 아닌 다른 숫자가 오도록 표기할 수 있습니다. 예컨대 (12)(34)(43)(12)와 같습니다. (1324)(3241)과 같으며, (142)(3)(3)(421)과 같습니다. 위의 모든 원소를 2가 처음오도록 표기해보세요. 꼭 표기법이 하나만 있다는 보장은 없습니다.


자 이번엔 이런 순열에 연산을 취해봅시다. 어떻게 취햐나고요? 사다리타기의 예제로 다시 잠깐 돌아가봅시다. 4개의 줄로 그려진 두개의 사다리타기를 A B라고 둡시다. 여기서 B의 첫번째 시작점을 A의 첫번째 끝점에, 마찬가지로 두번째, 세번째, 그리고 네번재 시작점도 마찬가지로 접붙였다고 가정합시다. 이렇게 나온 결과는 기존의 A B와는 또 다른 새로운 사다리가 생깁니다. 여기서 주의할 점은 A가 위로 오게 그리느냐, B가 위로 오게 그리느냐에 따라서 그 결과는 다른 사다리가 나올 수 있다는 점입니다. 즉 사다리타기의 경우 이렇게 접붙임을 연산으로 이해해줄 수 있습니다. 이 연산을 순열의 조합(composition)이라고 부릅니다. 이를 자 그렇다면 앞서 소개한 표기법으로 연산은 어떻게 정의될까요?

A라는 사다리가 (132)(4) 에 해당하고, B라는 사다리가 (14)(23)에 해당한다고 가정합시다. 그랬을 때 A가 위에, B가 아래에 오도록 접붙인 사다리는 (14)(23)(132)(4)라고 표기합니다. 아래에 오는 사다리의 순열을 그대로 적고, 바로 이어서 위에오는 사다리의 순열을 적어주는 것입니다. 하지만 이 꼴은 위에 제시된 24개의 원소와는 사뭇 다른 모양을 띄는 것 처럼 보이지만, 순열의 연산을 취해주면 조금 더 모양이 간단해지게 됩니다. 순열 연산의 규칙은 다음과 같습니다. 처음엔, 숫자 1을 마음속에 두곤, 가장 오른쪽 괄호서부터 살펴봅니다. 만약 괄호 안에 1이 없다면, 그 다음 괄호로 넘어가 1이 들어가 있는지 살핍니다. 반대로 1이 들어가 있다면, 괄호 안에서 1 다음에 뒤따라오는 숫자를 취합니다. 그리고 왼쪽 괄호로 넘어가 이번엔 그 숫자가 있는지 없는지 살피며 같은 규칙을 반복합니다. 가장 왼쪽, 즉 마지막 괄호까지 모두 살펴봤을 때의 그 결과를 모두 기입합니다. 마찬가지로 2,3,4에 대해서도 이 규칙을 실행해줍니다.

조금 말로 설명하려 하니 복잡해보이네요, 한번 실제로 위의 경우를 해볼까요? 1의 경우, 가장 오른쪽 괄호 (4)에는 1이 포함되어있지 않으니 1을 가지고 바로 왼쪽 괄호로 넘어옵니다. 해당 괄호는 (132) 1이 들어가 있군요. 그럼 1 다음에 오는 숫자 3을 가지고, 그 다음 괄호로 넘어갑니다. 그 괄호는 (23)으로, 3 2로 보내는군요. 2를 가지고 가장 왼쪽 괄호로 옵니다. 해당 괄호에는 2가 없군요. 그러므로 전체 순열은 1 2로 보내준다고 볼 수 있습니다. 자 이번에는 2를 가장 오른쪽에서부터 살펴볼게요. 역시 (4)에는 2가 없으니 패스, 뒤따라오는 (132)에는 2 1로 보내집니다. 그 다음 (23)에는 1이 없고, 마지막 괄호는 (14)이므로 1 4로 보내지는군요. 즉 전체적으로 봤을 때 2 4로 보내줍니다. 같은 규칙을 적용하면 3 3으로 , 4 1로 보내지게 됩니다. , 1 2, 2 4, 4 1, 3 3이므로, 이를 순열의 표기로 쓰면 (124)(3)이 됩니다.

자 그렇다면 B가 위에, A가 아래에 오도록 한 사다리는 어떨까요? 이 경우는 표기로 (132)(4)(14)(23)으로 표기할 수 있겠군요. 마찬가지로 이 경우를 계산해볼까요? 자 마찬가지로 1부터 봅시다.(23)에는 1이 없으니 넘어갑니다.(14)로 하여금 1 4로 보내지는군요.(4) 4를 여전히 4로 갖고 있으며, 마지막 괄호에는 4가 없으니, 결과적으로 1 4로 보내집니다. 나머지 2,3,4를 보면 각각 2, 1, 3으로 보내집니다. 그러므로 이 경우의 결과는 (143)(2)가 됩니다. 앞서 A가 위에 오도록 그린 사다리와는 전혀 다른 결과를 갖는군요. 네 그렇습니다. 순열의 조합은 교환법칙을 성립하지 않습니다. 비가환(non-commutative)합니다.

자 그렇다면, 이번엔 이 원소들의 집합이 군을 이루는지 살펴볼까요? 일단 군을 이루기 위해서는 순열 연산이 결합법칙을 성립해야 합니다. 다시말해, 위의 24개의 순열 중 임의의 3 순열 \sigma, \tau, \rho를 가정했을 때, \sigma (\tau \rho) (\sigma \tau)\rho임을 보이는 것인데, 이 증명은 조금 기술적인 관계로 생략하겠습니다. 이 집합에 항등원에 해당되는 순열은 무엇일까요? 그는 바로 (1)(2)(3)(4)입니다. 이는 사다리로 그렸을 때에는 수평선줄이 전혀 없는 4개의 줄로 여겨줄 수 있습니다. 이를 임의의 사다리 A에 위나 아래에 접붙여주더라도 기존의 A와 여전히 같은 결과를 내놓기 때문이죠. 숫자가 하나뿐인 괄호는 종종 생략한다고 말씀드렸죠? (1)(2)(3)(4)의 경우는 모두가 숫자가 하나뿐인 괄호니 모두 생략하면 표기상 의미가 불분명하니, 항등원을 의미하는 e로 대신 써주곤 합니다.


문제 3: 앞서 언급했듯, 항등원을 제외한 모든 순열의 경우 숫자가 하나뿐인 괄호는 생략해줄 수 있다고 했습니다. 문제 1에서 표기했던 6개의 원소, 그리고 위에 언급했던 24개의 원소를 위와 같은 방법으로 표기해보세요.

문제 4: 순열의 조합은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않지만, 간간히 교환법칙을 만족하는 순열도 존재합니다. 위의 24개의 순열들 중 (12)\sigma = \sigma(12)를 만족하는 순열들을 모두 나열해보세요.


마지막으로 그러면 각 순열에 대해서 역원은 존재할까요? 이 역시 사다리로 쉽게 파악해줄 수 있습니다. 다시 줄 네 개짜리 사다리를 그려봅시다. 예컨대 1번은 3, 2번은 4, 3번은 2, 4번은 1번으로 향한다고 가정해 볼게요. 이렇게 그린 사다리를 이번엔 뒤집어 봅시다. 사다리를 뒤집어도 여전히 사다리의 모양새를 띄고 있습니다. 이 사다리의 3번 시작점을 보고 천천히 내려와볼까요? 기존 사다리가 1번을 3번으로 보냈으니 뒤집은 사다리는 3번을 1번으로 다시 보낼 겁니다. 마찬가지로 4번은 2, 2번은 3, 마지막으로 1번은 4번으로. 이렇게 뒤집은 사다리를 기존의 사다리의 아래 혹은 위에 접붙여주면, 결과적으로 n번 시작점은 n번 끝점으로 보내주는 사다리가 나오게 됩니다. 기존의 사다리는 순열로는 (1324)의 꼴을 띄고 있었고, 뒤집은 사다리는 (1423)의 꼴을 띄고 있네요. 이 둘을 취해 (1324)(1423) 을 계산해보면 e가 나오게 됩니다. 이 외에 임의의 순열의 경우도, 그에 상응하는 사다리가 있고, 그 사다리를 뒤집은 것도 여전히 잘 정의된 사다리이며 이에 해당하는 순열이 존재하니, 각 순열에는 그 역원이 존재한다는 것이 보여집니다. 그러므로 순열의 집합은 군을 이룹니다. 이 경우 총 4개의 숫자들을 뒤섞은 순열들의 집합이므로 이를 S_4라고 표기합니다. 여기서 알파벳 S 대칭군을 의미하는 Symmetric Group의 첫글자를 따왔다고 합니다.


문제 5: S_1, S_2, S_3을 정의하고, 각각의 기수를 구해보세요. S_4의 기수가 24인 것을 미루어보아 S_5의 기수는 몇일까요? S_n의 기수는 일반적으로 몇일까요?


자 오늘은 이렇게 대칭군을 정의해보았습니다. 원래 이번 편에서 대칭군 외에도 소개하고 싶었던 비아벨군이 2개가 더 있었는데, 아무래도 다음 시간으로 미뤄야겠군요. 어떤가요, 대칭군이 조금 흥미롭게 느껴졌나요? 대칭군은 대수학 이외에도 조합론에서도 흥미로운 연구대상으로 손꼽힙니다. 관심이 가신다면 한번 조금 찾아보길 권유해드리고 싶네요. 다음 시간에는 대칭군 말고 또다른 비아벨군의 예제를 몇 개 살펴보도록 할게요.

 

이번 편은 LA로 향하는 Surfliner 기차 안에서, 노리플라이 – 바라만 봐도 좋은데와 함께 했습니다. 🙂


문제 1: 그렇다면 줄이 세개인 사다리의 순열은 모두 무엇이 있을까요? 모두 나열해보세요.

답) (1)(2)(3), (12)(3), (13)(2), (23)(1), (123), (132) 총 여섯개가 있습니다.

문제 2: 위의 제시된 24개의 원소는 필자의 임의대로 모두 첫번째 오는 숫자가 1이 오도록 적었습니다. 사실 첫번째 숫자가 1이 아닌 다른 숫자가 오도록 표기할 수 있습니다. 예컨대 (12)(34)(43)(12)와 같습니다. (1324)(3241)과 같으며, (142)(3)(3)(421)과 같습니다. 위의 모든 원소를 2가 처음오도록 표기해보세요. 꼭 표기법이 하나만 있다는 보장은 없습니다.

답)

(2)(1)(3)(4), (21)(3)(4), (2)(13)(4), (2)(14)(3), (23)(1)(4), (24)(1)(3), (2)(34)(1)

(213)(4), (231)(4), (241)(3), (214)(3), (2)(134), (2)(143), (234)(1), (243)(1)

(21)(34), (24)(13), (23)(14), (2341), (2431), (2413), (2134), (2314), (2143)

문제 3: 앞서 언급했듯, 항등원을 제외한 모든 순열의 경우 숫자가 하나뿐인 괄호는 생략해줄 수 있다고 했습니다. 문제 1에서 표기했던 6개의 원소, 그리고 위에 언급했던 24개의 원소를 위와 같은 방법으로 표기해보세요.

답) e, (12), (13), (23), (123), (132),

e, (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234),

(243), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)

문제 4: 순열의 조합은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않지만, 간간히 교환법칙을 만족하는 순열도 존재합니다. 위의 24개의 순열들 중 (12)\sigma = \sigma(12)를 만족하는 순열들을 모두 나열해보세요.

답) 군 G의 특정한 원소 x에 대해서 gx = xg를 만족하는 원소 g의 집합을 센트럴라이저(Centralizer)라고 부르며, C_G(x)라고 표기합니다. 이후에 부분군편에서 다룰 예정이지만, 이 집합 역시 군을 이룹니다. 위 문제는 C_{S_4}(12)를 묻는 것인데, 24개의 원소 중 e, (12), (34), (12)(34)만이 위 성질을 만족합니다. 첫째로, 항등원 e는 그 정의에 따라 성질을 만족합니다. (12)는 자신을 역원으로 삼으니 역시 위 조건을 만족합니다. (34)는 특별한데, (12)(34)안에는 공유하고 있는 숫자가 없습니다. 이를 서로소 순환(disjoint cycles)라고 합니다. 대칭군에서 두 서로소 순환은 항상 위의 성질을 만족합니다. 마지막으로, (12)(34)의 조합 순열인 (12)(34)도 성질을 만족합니다.

문제 5: S_1, S_2, S_3을 정의하고, 각각의 기수를 구해보세요. S_4의 기수가 24인 것을 미루어보아 S_5의 기수는 몇일까요? S_n의 기수는 일반적으로 몇일까요?

답) S_1 = \{e\}, S_2 = \{e, (12)\}, S_3 = \{e, (12),(13),(23),(123),(132)\}. 그러므로 각각의 기수는 1, 2, 6입니다. 이는 모두 1!, 2!, 3!에 대응하며 S_4의 기수인 24 역시 4!로 이 성질을 만족합니다. 이로 미루어보아, S_5의 기수는 5! = 120, 그리고 일반적인 n에 대해서, S_n의 기수는 n!로 예상할 수 있습니다. 증명은 다음과 같습니다. 사다리의 관점으로 돌아가, S_nn개의 시작점을 n개의 끝점에 대응하는 모든 경우의 수 입니다. 1이 대응될 수로는 총 n개의 경우의 수가 있고, 2는 n-1, 그렇게 논리를 이어가면, 모든 경우의 수는 n \cdot (n-1) \cdot \cdots 1 = n!이 됩니다.

원들대 02: 대칭군의 정의

원들대 01: 군의 정의와 아벨군의 예제

1: 군의 정의와 아벨군의 예제


오늘의 목표:

  1. 아벨군이 무엇인지 알아봅시다.
  2. 덧셈군곱셈군에 대해서 알아봅시다.
  3. 무한군유한군의 예제를 살펴봅시다.

 

오늘은 대수학의 가장 기본이 되는 (Group)에 대해서 알아볼까요? 군은 어떤 원소들의 모임, 집합(Set)입니다. 하지만 아무런 집합이 모두 군인 것은 아닙니다. 집합이 군이 되기 위해서는 다음과 같은 조건이 충족되어야 하거든요


군의 조건

  1. 군은 이항연산자가 정의되며, 해당 연산자에 대해서 닫혀있어야 합니다.
  2. 해당 연산자에 대해서 결합법칙을 만족합니다.
  3. 군은 항등원을 포함합니다.
  4. 각 원소의 역원이 군에 포함되어야 합니다.

너무 딱딱해보이는 단어가 많이 나와 당황하셨죠? 침착하게 단어 하나씩 살펴볼까요?

첫째로 연산자(operator)부터 시작해보겠습니다. 아마 어렸을 즉 사칙연산에 대해서 배우셨을 겁니다. +, -, \times, 그리고 \div가 있죠. 연산자 앞 혹은 뒤로 오는 연산을 당하는 대상을 피연산자(operand) 혹은 (term)이라고 부릅니다.  사칙연산의 경우는 숫자, 미지수, 함수 등 다양한 것들이 피연산자가 될 수 있지요. 위에 제시된 네개의 연산자는 이항연산자(binary operator)라고 불리는데, 그 이유는 연산이 정의되기 위해서는 두개의 항이 필요로 하기 때문입니다.


문제 1: 연산을 하는데에 있어 단 하나의 항만 필요로 하는 연산자를 단항연산자(Unary operator)라고 부릅니다. 단항연산자에는 무엇이 있을까요?


자, 그렇다면 이번엔 닫혀있다(closed under)는 말의 의미를 파악해봅시다. 연산에있어 닫힘이란, 집합 안의 임의의 두 원소를 골라 연산을 취해줬을 때에도 여전히 그 집합 안에 포함되어있음을 말합니다. 말이 조금 딱딱하죠? 예를 살펴보면 조금 더 쉽게 느껴질 거에요.

E를 모든 짝수의 집합, O를 모든 홀수의 집합이라고 정의합시다. 여기서 E의 경우 임의의 두 원소를 취해봅시다. 예컨대 4와 6을 볼까요? 4+6=10이며, 이는 여전히 짝수입니다. 즉, 두 수에 연산을 취한 결과가 여전히 E에 포함되어 있습니다. 반면 O의 경우를 볼까요? 마찬가지로 O의 임의의 두 원소를 취해봅시다. 예컨대 3과 1을 볼까요? 3+1 = 4이며, 이는 짝수입니다. 즉, O에 포함되어있지 않군요. 그러므로 E는 덧셈에 닫혀있고, 반면 O는 덧셈에 닫혀있지 않다고 합니다.

몇 가지 예제를 더 살펴볼까요? 3의 배수의 집합을 X라고 정의해봅시다. X는 덧셈과 곱셈에 닫혀있을까요? 3의 배수의 합은 역시 3의 배수, 3의 배수의 곱 또한 3의 배수입니다. 그러므로 X 덧셈에도 곱셈에도 닫혀있군요. 그렇다면 이번엔 3으로 나눴을 때 나머지가 1인 정수의 집합을 Y라고 정의해봅시다. Y는 덧셈에 닫혀있나요? 1 4 Y에 포함되어있지만, 1+4=5, 이는 3으로 나눴을 때 1이 아니라 2가 됩니다. , Y는 덧셈에는 닫혀있지 않네요.


문제 2: 앞서 정의한 Y는 곱셈에 닫혀있나요?


군과 집합의 결정적인 차이는 이 연산에 있습니다. 집합은 각 원소들이 개별적인 객체로, 서로 어떠한 연관성도 가지지 않습니다. 반면, 군에서는 연산이 정의되어있어, 군의 임의의 두 원소는 연산을 통해 새로운 값을 내놓습니다. 집합에 비하면 훨씬 더 유기적인 구조라고 볼 수 있겠습니다.

이번에는 두번째에 명시된 결합법칙(Associativity)에 대해서 살펴봅시다. 결합법칙이란 연산자가 두 번 이상 나올 때, 계산의 순서에 상관없이 같은 값이 나오는 성질을 말합니다. 예컨대 덧셈과 곱셈은 결합법칙을 만족합니다. 임의의 a,b,c에 대해서 a+(b+c) = (a+b)+c을 만족합니다. 곱셈 또한 마찬가지로 a(bc) = (ab)c를 만족하니 결합법칙이 성립하는군요.


문제 3: 결합법칙이 성립하지 않는 연산에는 어떤 것들이 있을까요?


자 그렇다면 이번엔 항등원(Identity element)에 대해서 알아볼게요. 항등원의 정의는 다음과 같습니다. *라는 연산자의 항등원 e는 임의의 원소 a에 대해서 a*e = e*a = a를 만족한다. (일반적으로 항등원은 e로 표기합니다.) 이번에도 한번 예제를 살펴볼까요? 덧셈연산자의 경우를 생각해봅시다. 임의의 숫자 a에 대해서 a+e = a 그리고 e+a = a를 만족하는 e는 무엇일까요? 네 바로 0입니다. 그렇다면 곱셈의 경우는 어떨까요? (중학교 과정에서 배웠던 것 처럼 앞으로 두 미지수 사이의 곱셈 기호는 생략하겠습니다.) ae = ea = a를 만족하는 e는 무엇일까요? 바로 1입니다. 그러므로 0덧셈에 대한 항등원, 1곱셈에 대한 항등원이라 정의합니다. , 두번째 조건은 덧셈 연산자가 정의된 군에는 0, 곱셈 연산자가 정의된 군은 1을 반드시 포함하고 있어야 된다는 뜻으로 볼 수 있겠습니다.

마지막으로 역원(Inverse element)에 대해서 알아볼까요? 이번에도 마찬가지로 연산자를 *로 표기할게요. 이 연산자의 역원을 e라 표기할 때, 임의의 원소 a의 역원은 a*b = b*a = e를 만족하는 원소 b를 일컫습니다. 마찬가지로 덧셈과 곱셈의 경우를 살펴볼까요? 덧셈의 경우 a라는 값의 역원은 몇이어야 할까요? 방금 전 단락에서 덧셈의 항등원은 0이라고 했습니다. , a+b = 0 그리고 b+a = 0을 만족하는 b가 바로 a의 역원이 되어야겠군요. 네 바로 -a a의 역원이 되어야겠습니다. 그렇다면 곱셈의 경우는 어떨까요? 곱셈의 경우 항등원은 1이라고 앞서 말했죠? 그러므로 곱셈에서의 a의 역원은 ab = 1 그리고 ba= 1을 만족하는 b가 바로 a의 역원이 되겠군요. 그렇습니다, a의 역원은 1/a이어야 합니다. 단 주의할 점은 a 0인 경우 1/a가 정의되지 않는다, 0의 곱셈의 역원은 존재하지 않는다는 점입니다.

, 그렇다면 다시 세가지 조건을 차근차근히 음미해볼게요. 집합 X가 군으로 정의되기 위해서는, 첫번째로 이항연산자가 정의되어야 하고, 해당 집합의 임의의 두 원소에 이항연산을 취한 결과가 여전히 X에 포함되어야, 닫혀있어야 합니다. 그리고 그 이항연산자에 따른 항등원이 포함되어야 하며, 마지막으로 각 원소의 역원 또한 포함되어야 합니다. 이 경우 만약 *이 연산자로 사용되었다면 이 군을 (X,*)로 표기합니다. 단순히 X라고 표기하지 않는 이유는 이것이 집합이 아니라 군임을 명시하기 위함입니다.


문제 4: 항등원의 역원은 무엇인가요? 반대로 스스로를 역원으로 삼는 모든 원소는 항등원인가요?


만약 여기서 연산자가 덧셈인 경우, 군을 덧셈군(Additive group)이라고 부르고, 곱셈인 경우는 곱셈군(Multiplicative group)이라고 부릅니다. 덧셈과 곱셈은 이항연산자를 두고 두 항의 순서를 바꿔도 그 결과가 같다는 좋은 성질이 있습니다. a+b = b+a 그리고 ab = ba라는 성질이죠. 이를 가환성(Commutativity)라고 부릅니다. 만약 가환성이 있는 연산자로 정의되었을 경우, 이 군을 아벨군(Abelian group)이라고 부릅니다. 즉 덧셈군과 곱셈군은 아벨군입니다.


문제 5: 덧셈군은 곱셈군일 수 있나요? 반대로 곱셈군은 덧셈군일 수 있나요?


자 그렇다면 이번엔 몇가지 아벨군의 예제를 살펴볼게요. 가장 기본적인 덧셈군은 무엇이 있을까요? 자연수(Natural number) \mathbb{N},  1, 2, 3, \cdots 이런 숫자들의 집합은 덧셈군이 될 수 있을까요? 안타깝게도 될 수 없습니다. 항등원 0, 그리고 각 숫자에 대한 역원, -1, -2, -3, \cdots 들이 없기 때문입니다. 반면 그러한 숫자들을 모두 포함한 정수(Integer) \mathbb{Z}는 훌륭한 덧셈군입니다. 더욱이, 그 원소의 개수가 무한히 많으니 무한군(Infinite group)이라고도 할 수 있겠습니다.

그렇다면 가장 기본적인 곱셈군에는 무엇이 있을까요? 이번엔 정수 \mathbb{Z}에서 생각해봅시다. 정수 \mathbb{Z}는 곱셈군인가요? 안타깝게도 아닙니다. 그 이유로 첫째, 0이 문제가 됩니다. 0의 역원, 1/0은 정의되지 않기 때문이에요.

그렇다면 정수에서 0을 제외하면 곱셈군이 될까요? 1은 스스로 곱셈의 역원이 되고, 마찬가지로 -1도 그렇군요. 반면 2 이상의 정수는 그 역원이 1/2, 1/3, \cdots 이며 이는 정수가 아니군요. 그렇다면 이러한 분수를 모두 포함한, 그러나 0을 제외한 유리수(Rational number) 집합을 떠올려 봅시다.(이는 \mathbb{Q}\setminus\{0\}라고 표기합니다.) 첫째, 두 유리수의 곱은 유리수입니다. 그리고 곱은 앞서 언급했듯 결합법칙을 성립하죠. 또한, 곱셈의 항등원인 1은 유리수이니 \mathbb{Q}\setminus\{0\}에 포함되어있군요. 마지막으로 임의의 유리수 p/q에 대해서 그 역원은 q/p, 역시 유리수입니다. 그러므로 \mathbb{Q}\setminus\{0\}은 곱셈군을 이룹니다. 역시 이 곱셈군도 무한히 많은 원소를 포함하므로 무한군입니다.


문제 6: 무리수(Irrational numbers)는 분수로 표현할 수 없는 실수, 예컨대 \sqrt{2}\pi와 같은 것들이 있습니다. 집합은 종종 \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}로 표기됩니다. 일단, 무리수 집합은 덧셈군이 될 수 없습니다. 왜냐하면 덧셈의 항등원인 0이 유리수이기에 이 안에 포함되어있지 않기 때문이죠. 그렇다면 \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} 0을 포함한다면 이는 덧셈군이 될까요? 마찬가지로, \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}에 1을 포함하면 이는 곱셈군이 될까요?


그렇다면 이번엔 유한한 덧셈군/곱셈군을 살펴볼까요? 그러기 위해서는 합동 산술(Modular arithmetic)에 대해서 조금 알 필요가 있겠습니다. 합동 산술이란, 임의의 정수를 주어진 수로 나눴을 때 그 나머지로 여기는 연산입니다. 여기서 주어진 수를 모듈로(modulo) 한국어로는 종종 이라고도 일컫습니다. 예를 하나 들어볼까요? 12이라는 수는 모듈로 5에 대해서는 2와 같습니다. 왜냐하면 12 5로 나눴을 때의 나머지가 2이기 때문입니다. 반면 12는 모듈로 6에 대해서는 0과 같습니다. 6으로 나눴을 때의 나머지가 없기 때문입니다. 이렇게 모듈로가 정의되면 두 수의 곱과 합 역시 정의가 가능합니다. 예컨대 모듈로 8에 대해서, 6 7의 합은 13, 이를 8로 나눈 나머지는 5가 됩니다. 이를 6+7 \equiv 5 \pmod 8로 표기합니다. 곱셈의 경우도 비슷하게 계산합니다. 6 7의 곱은 42, 이를 8로 나눈 나머지는 2이므로, 6 \cdot 7 \equiv 2 \pmod 8로 표기할 수 있겠습니다. 그러므로 모듈로 8에서의 합동 산술의 결과는 0,1,2,3,4,5,6,7 8개의 경우의 수밖에 없습니다. 덧셈의 경우 이들을 각각 원소로 취급해서 정의한 집합을 \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}라고 표기합니다. 마찬가지로 모듈로가 n인 경우는 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}라고 표기합니다.

자 그렇다면 이번엔 과연 \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}가 군이 되는지 한번 따져볼까요? 첫째, 덧셈연산자에 대해서 닫혀있나요? 네 닫혀있습니다.\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}에 두 수를 더한 값을 8로 나눈 나머지는 항상 0,1, \cdots, 7 중 하나이기 때문입니다. 합동 산술에서의 덧셈은 일반 덧셈과 같은 역할을 하므로 역시 결합법칙도 만족합니다. 그렇다면 이 집합에 항등원은 있나요? 네, 0이 항등원의 역할을 톡톡히 해주고 있습니다. 마지막으로 역원은 어떤가요? 원소를 하나하나 살펴봅시다. 1의 경우는 7이 역원의 역할을 할 수 있겠군요. 왜냐하면 1+7 8이며 이를 8로 나눈 나머지는 0이니까요. 그래서 모듈로 8의 합동 산술에서는 7 종종 -1로 표기해주곤 합니다.  \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}의 임의의 원소 n의 역원은 8-n이라고 할 수 있겠습니다. n=0인 경우, 이 역원은 8, 0이 됩니다. 그러므로 \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}는 위에 제시된 세가지 조건을 모두 만족하니 덧셈군이군요. 이를 모듈로 8의 덧셈군이라 합니다. 더욱이, 그 원소의 개수는 8개 뿐이군요. 유한군(Finite group)입니다. 유한군의 경우 해당 군의 원소의 개수를 기수(order)라고 정의합니다.


문제 7: 일반적으로 n 1 이상의 자연수의 경우, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}는 항상 덧셈군을 이루나요? 그렇다면 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}의 기수는 몇인가요?


유한한 덧셈군은 다소 쉽게 정의되었지만 곱셈군은 그렇지 않습니다. 방금전에 본 \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}를 다시 살펴봅시다. 이는 곱셈군일까요? 안타깝게도 그렇지 않습니다. 첫번째로 문제를 일으키는 녀석은 바로 0입니다. 곱셈에서의 0의 역원은 존재하지 않는다고 앞서 말씀드렸죠? 합동 산술에서도 다를 바 없거든요. 그러므로 최소한 0을 일단 제외해주어야겠군요. 0을 제외해준다고 문제가 해결될까요? 이번엔 2와 4를 살펴봅시다. 2 4를 곱하면 8이 되며, 이는 모듈로 8에서는 0이 됩니다. 하지만 0은 이 곱셈군에 포함되지 않는다고 했었죠? \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}에서 0이 제외되었으므로, 군으로서 곱셈에 닫혀있기 위해서는 모듈로 8에서 곱했을 때 0이 되는 모든 원소들 또한 제외해주어야 합니다.  2 4, 그리고 6도 제외해줘야겠습니다. 6의 경우, 4와 곱하면 모듈로 8에서 0이 되어버리기 때문이죠.

그렇다면 0, 2, 4, 6을 제외한 1, 3, 5, 7은 어떤가요? 일단 모듈로 8에서 1, 3, 5, 7 중 임의의 두 수를 곱했을 때 제시된 네 숫자 중 하나가 나옵니다. 즉 닫혀있군요. 곱셈의 항등원인 1 역시 포함하고 있네요. 마지막으로 역원은 어떤가요? 항등원의 역원은 자기자신이니 [문제 4] 1은 역원이 있군요. 놀랍게도 모듈로 8에서는 3, 5, 7 각각의 역원이 자기 자신입니다. 3\times 3, 5\times 5, 7\times 7 8로 나눴을 때의 나머지가 모두 1이기 때문입니다. 모듈로 8에서의 1, 3, 5, 7은 곱셈으로 군을 이룹니다. 이를 (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times라고 표기합니다. 여기서 1, 3, 5, 7의 공통점은 무엇일까요? 모두 홀수다? 그것도 좋은 공통점이겠습니다. 하지만 8과 연관지어보면 어떤 특별한 점이 있을까요? 한번 8 1, 3, 5, 7 각각의 최대공약수(greatest common divisor; g.c.d.)를 살펴볼까요? 모두가 각기 1입니다. 두 수의 최대공약수가 1인 경우 이 두 수를 서로소(coprime)이라고 일컫습니다. 실제로 모듈로 n에서의 곱셈군은 n보다 작고 n과 서로소인 숫자들로 이루어집니다. 1은 그 어떤 숫자와도 서로소이므로, n이 몇이든 무관하게 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times에 항상 포함되어 있습니다.


문제 8:  n 2에서 10까지에 대해서 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times 의 원소들을 모두 나열해봅시다. 어떤 곱셈군이 가장 많은 원소를 포함하고 있나요? (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times 군의 기수를 \phi(n)라고 표기해봅시다. 앞서 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times의 원소는 n보다 작고 n과 서로소인 숫자들을 포함하고 있다 했으므로 \phi(n)n보다 항상 작겠습니다. 그러므로 \phi(n)/n 1보다 같거나 클 수 없습니다. \phi(n)/n 1에 가깝기 위한 조건은 무엇이 있을까요? 힌트) 소수는 그보다 작은 모든 자연수들과 서로소입니다.


자 이렇게, 유한한 곱셈군의 경우도 살펴보았습니다. 물론 지금까지는 아벨군의 경우, 즉 연산자를 중심으로 피연산자의 순서를 바꿔도 같은 결과를 주는 경우에 대해서만 살펴보았습니다. 다음 시간에는 아벨군이 아닌 무한군과 유한군의 예제를 살펴볼게요.

이번 편은 Biomedical Library에서, 음악 9와 숫자들 – 창세기와 함께 했습니다. 🙂


문제 1: 연산을 하는데에 있어 단 하나의 항만 필요로 하는 연산자를 단항연산자(Unary operator)라고 부릅니다. 단항연산자에는 무엇이 있을까요?

답) 대표적인 예로 미지수가 하나인 함수가 있겠습니다. 임의의 함수 f(x)에 대해서 x에 적절한 수를 하나 대입하면 그에 따른 숫자가 나오니 단항연산자로 여겨줄 수 있습니다. 또한 팩토리얼(!)도 좋은 예제라고 할 수 있겠네요. 팩토리얼 연산을 취하기 위해서는 하나의 숫자만 필요하기 때문입니다. (자연수 n에 대해서 n!1 \cdot 2 \cdot \cdots n으로 정의합니다.) 또한 함수의 집합의 경우, 미분(‘)도 단항연산자로 여겨줄 수 있습니다.

문제 2: 앞서 정의한 3으로 나눴을 때 나머지가 1인 숫자들의 집합, Y는 곱셈에 닫혀있나요

답) 닫혀있습니다. 3으로 나눴을 때 나머지가 1인 숫자들은 모두 임의의 정수 n에 대해서 3n+1의 꼴로 표기가 가능합니다. 임의의 3n+1, 3m+1에 대해, (3n+1)(3m+1) = 9nm + 3n + 3m + 1 = 3(3nm+n+m) + 1이므로, 3으로 나눴을 때 나머지가 1입니다.

문제 3: 결합법칙이 성립하지 않는 연산에는 어떤 것들이 있을까요?

답) 대표적으로 -\div가 있습니다. 예컨대 (5-3)-4 \neq 5-(3-4). 또한, (6/2)/3 \neq 6/(2/3). 또한 승(^)도 좋은 예제입니다. (2^1)^2 = 4인 반면, 2^{(1^2)} = 2로 둘의 값은 다릅니다.

문제 4: 항등원의 역원은 무엇인가요? 반대로 스스로를 역원으로 삼는 모든 원소는 항등원인가요?

답) 연산자 *에 대해서 e의 역원을 x라고 가정합시다. 그렇다면 x*e = e를 만족해야 합니다. 하지만 항등원 e의 특성상, x*e = x입니다. 그러므로 x = e가 됩니다. 즉, 항등원의 역원은 항등원 자신입니다.

반면 역원이 자신이라고 항상 항등원이 되는 것은 아닙니다. 본문중에 서술되었던 0을 제외한 무리수 군, \mathbb{Q}\setminus \{0\}을 떠올려봅시다. 여기서 -1(-1)(-1) = 1이므로 자기자신을 역원으로 삼습니다. 하지만 -1은 항등원이 아닙니다.

문제 5: 덧셈군은 곱셈군일 수 있나요? 반대로 곱셈군은 덧셈군일 수 있나요?

답) 둘 다 불가능합니다. 덧셈군은 0을 포함해야 하지만, 곱셈에서는 0의 역원이 정의될 수 없으므로, 곱셈군은 0을 포함해서는 안됩니다.

문제 6: 무리수(Irrational numbers)는 분수로 표현할 수 없는 실수, 예컨대 \sqrt{2}\pi와 같은 것들이 있습니다. 집합은 종종 \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}로 표기됩니다. 일단, 무리수 집합은 덧셈군이 될 수 없습니다. 왜냐하면 덧셈의 항등원인 0이 유리수이기에 이 안에 포함되어있지 않기 때문이죠. 그렇다면 \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} 0을 포함한다면 이는 덧셈군이 될까요? 마찬가지로, \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}에 1을 포함하면 이는 곱셈군이 될까요?

답) 두 경우 다 군이 되지 않습니다. 왜냐하면 무리수는 덧셈에, 그리고 곱셈에 닫혀있지 않기 때문입니다. 앞서 두 유리수의 합은 유리수임을 언급했습니다. 이는 다시 말해, 무리수 x와 유리수 y를 가정하면 x-y는 무리수여야 된다는 의미입니다. 만약 x-y가 유리수라면 (x-y) + y = x는 두 유리수의 합이므로 유리수여야 하며, 이것은 x가 무리수라는 초기조건과 모순됩니다. 그러므로 1-\sqrt{2}는 무리수입니다. 보다시피 (1-\sqrt{2}) + \sqrt{2}는 두 무리수의 합이며 그 결과는 1로 유리수입니다. 그러므로 무리수는 덧셈 안에 닫혀있지 않습니다. 마찬가지로 2/\sqrt{2}는 무리수이며, \sqrt{2} \cdot 2/\sqrt{2}는 두 무리수의 곱이나, 그 결과는 2로 유리수입니다. 마찬가지로 무리수는 곱셈 안에 닫혀있지 않습니다.

문제 7: 일반적으로 n 1 이상의 자연수의 경우, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}는 항상 덧셈군을 이루나요? 그렇다면 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}의 기수는 몇인가요?

답) 네, 항상 군을 이룹니다. 덧셈은 여전히 결합법칙을 만족하고, 0이 항상 포함되어있으며, 임의의 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}의 원소 k에 대해서 n-k \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}가 역원이기 때문입니다. \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}0, 1, \cdots, n-1을 포함하고 있기에, 기수는 n입니다.

문제 8:  n 2에서 10까지에 대해서 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times 의 원소들을 모두 나열해봅시다. 어떤 곱셈군이 가장 많은 원소를 포함하고 있나요? (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times 군의 기수를 \phi(n)라고 표기해봅시다. 앞서 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times의 원소는 n보다 작고 n과 서로소인 숫자들을 포함하고 있다 했으므로 \phi(n)n보다 항상 작겠습니다. 그러므로 \phi(n)/n 1보다 같거나 클 수 없습니다. \phi(n)/n 1에 가깝기 위한 조건은 무엇이 있을까요? 힌트) 소수는 그보다 작은 모든 자연수들과 서로소입니다.

답) (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times = \{1\}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times = \{1,2\}(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times = \{1,3\}(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times = \{1,2,3,4\}(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^\times = \{1,5\}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times = \{1,2,3,4,5,6\}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \{1,3,5,7\}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^\times = \{1,2,4,5,7,8\}(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^\times = \{1,3,7,9\}

n이 소수인 경우, 소수의 약수는 1과 n 자신 뿐이므로, n보다 작은 모든 자연수가 n과 서로소 관계를 이룹니다. 그러므로 n이 소수인 경우 \phi(n) = n-1이므로, \phi(n)/n이 1에 가깝기 위한 조건은 n이 아주 큰 소수여야 됩니다.

임의의 n에 대해서 \phi(n)의 값을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \phi(n) = n\prod_{\substack{p \mid n \\ p \text{ prime }}}\left(1-\frac{1}{p}\right)

\phi오일러 피-함수(Euler phi function)라 불립니다.

원들대 01: 군의 정의와 아벨군의 예제

원들대: 시작하기에 앞서

안녕하세요, 원생이가 들려주는 대수학(이하 원들대)을 연재하게 된 원생입니다. 수학을 공부하겠단 일념으로 이렇게 작은 블로그까지 찾아와주신 여러분들, 감사합니다.

원생이가 들려주는 시리즈(이하 원들 시리즈)의 첫번째 편을 무엇으로 할까 고민했지만, 아무래도 접하기도 쉽고, 다양한 컨텐츠가 있는 대수학이 괜찮겠다는 생각이 들어 이렇게 시작하게 되었습니다. 아마 여러분들도 고등학생 때 이미 대수학(Algebra)라는 말은 들어보셨을 겁니다. 알고 싶은 수를 x라고 두고, 이리저리 식을 옯기고 뒤집어서 x의 값을 찾는 과정 정도로 기억하실 겁니다. 18세기 이전의 의미에서의 대수학은, 여러분들의 생각대로 방정식을 해결하는 것에 그치겠습니다만, 19세기 초 갈루아로 하여금 대수학은 새로운 국면을 맞이하게 됩니다. 수의 체계에 대해서 공부하는 학문으로 말입니다.

대수학은 어떻게보면 수학의 추상성을 잘 보여줄 수 있는 학문이기도 합니다. 그러다보니 처음 접한 분들은, “그래, 흥미로운데 그래서 어디다 이걸 쓰라는거야?” 라는 질문을 던지실지도 모르겠습니다. 하지만 여기까지 찾아와 글을 읽어주실 정도로 수학을 좋아하는 분들이라면, 필요에 의해서가 아니라 즐거움을 위해 수학을 배우시는 분들이라 믿어 의심치 않겠습니다. 🙂

자 시작하기에 앞서, 이 글은 수학과 학생들 뿐만 아니라 일반인들을 위해서도 적혀져 있다는 당부를 드립니다. 수학과 분들에게는 너무 쉬운 이야기가 될 수도 있겠습니다만, 수학적 배경이 적은 분들에게는 또 어려운 이야기가 되지 않을까 걱정도 됩니다. 최대한 많은 분들이 즐길 수 있도록 제 나름 최선을 다해 최대한 많은 설명을 덧붙이도록 하겠습니다. 혹여나 설명이 부족하다고 생각하신다면, 답글을 남겨주세요. 최대한 설명을 남기도록 항상 수정하도록 하겠습니다.

매 글에는 생각해볼 문제들과 연습문제들을 몇 개 제안해볼까 합니다. 글 중간중간에 나오는 문제들은 포스트 가장 하단에, 연습문제는 다음 포스팅에 그 해답을 서술해볼까 합니다. 수학은 항상 복습과 예습, 문제풀이가 중요하니 만약 수학을 열심히 배워보시고 싶은 열정적인 분들이 계시다면 꼭 한번 귀찮더라도 문제는 풀어보시길 권유합니다.

마지막으로 이 포스팅은 제가 UCSD 대학원과정에서 배웠던 대수학 수업의 커리큘럼을 최대한 따라가도록 노력하려 합니다. 여러 사람들이 읽을 수 있도록 자잘한 증명 혹은 너무 테크니컬한 부분은 생략하고, 조금 이론과 정리, 그리고 다양한 예제에 초점을 맞춰볼까 합니다. 또한 이 글은 Dummit Foote가 공동저술한 Abstract Algebra 교과서를 어느 정도 참고할 예정입니다. 또한 이 글에서는 수학 용어를 최대한 한국어로 번역해서 낼까 합니다. 하지만 간간히 한국어로는 없는 단어들은 원어 그대로 가져갈 것임을 알려드립니다.

이 외에도 시리즈에 관해 질문이 있으시다면 답글로 남겨주세요. 감사합니다. 그럼 대수학 공부를 시작해 볼까요?

원들대: 시작하기에 앞서