원들대 01: 군의 정의와 아벨군의 예제

제 1편: 군의 정의와 아벨군의 예제

오늘의 목표:

군과 아벨군이 무엇인지 알아봅시다.
덧셈군과 곱셈군에 대해서 알아봅시다.
무한군과 유한군의 예제를 살펴봅시다.

오늘은 대수학의 가장 기본이 되는 군(Group)에 대해서 알아볼까요? 군은 어떤 원소들의 모임, 즉 집합(Set)입니다. 하지만 아무런 집합이 모두 군인 것은 아닙니다. 집합이 군이 되기 위해서는 다음과 같은 조건이 충족되어야 하거든요.

군의 조건

군은 이항연산자가 정의되며, 해당 연산자에 대해서 닫혀있어야 합니다.
해당 연산자에 대해서 결합법칙을 만족합니다.
군은 항등원을 포함합니다.
각 원소의 역원이 군에 포함되어야 합니다.

너무 딱딱해보이는 단어가 많이 나와 당황하셨죠? 침착하게 단어 하나씩 살펴볼까요?

첫째로 연산자(operator)부터 시작해보겠습니다. 아마 어렸을 즉 사칙연산에 대해서 배우셨을 겁니다. $+$ , $-$ , $\times$ , 그리고 $\div$ 가 있죠. 연산자 앞 혹은 뒤로 오는 연산을 당하는 대상을 피연산자(operand) 혹은 항(term)이라고 부릅니다. 사칙연산의 경우는 숫자, 미지수, 함수 등 다양한 것들이 피연산자가 될 수 있지요. 위에 제시된 네개의 연산자는 이항연산자(binary operator)라고 불리는데, 그 이유는 연산이 정의되기 위해서는 두개의 항이 필요로 하기 때문입니다.

문제 1: 연산을 하는데에 있어 단 하나의 항만 필요로 하는 연산자를 단항연산자(Unary operator)라고 부릅니다. 단항연산자에는 무엇이 있을까요?

자, 그렇다면 이번엔 닫혀있다(closed under)는 말의 의미를 파악해봅시다. 연산에있어 닫힘이란, 집합 안의 임의의 두 원소를 골라 연산을 취해줬을 때에도 여전히 그 집합 안에 포함되어있음을 말합니다. 말이 조금 딱딱하죠? 예를 살펴보면 조금 더 쉽게 느껴질 거에요.

$E$ 를 모든 짝수의 집합, $O$ 를 모든 홀수의 집합이라고 정의합시다. 여기서 $E$ 의 경우 임의의 두 원소를 취해봅시다. 예컨대 4와 6을 볼까요? $4+6=10$ 이며, 이는 여전히 짝수입니다. 즉, 두 수에 연산을 취한 결과가 여전히 $E$ 에 포함되어 있습니다. 반면 $O$ 의 경우를 볼까요? 마찬가지로 $O$ 의 임의의 두 원소를 취해봅시다. 예컨대 3과 1을 볼까요? $3+1 = 4$ 이며, 이는 짝수입니다. 즉, $O$ 에 포함되어있지 않군요. 그러므로 $E$ 는 덧셈에 닫혀있고, 반면 $O$ 는 덧셈에 닫혀있지 않다고 합니다.

몇 가지 예제를 더 살펴볼까요? 3의 배수의 집합을 $X$ 라고 정의해봅시다. $X$ 는 덧셈과 곱셈에 닫혀있을까요? 두 3의 배수의 합은 역시 3의 배수, 두 3의 배수의 곱 또한 3의 배수입니다. 그러므로 $X$ 는 덧셈에도 곱셈에도 닫혀있군요. 그렇다면 이번엔 3으로 나눴을 때 나머지가 1인 정수의 집합을 $Y$ 라고 정의해봅시다. $Y$ 는 덧셈에 닫혀있나요? 1과 4는 $Y$ 에 포함되어있지만, $1+4=5$ 로, 이는 3으로 나눴을 때 1이 아니라 2가 됩니다. 즉, $Y$ 는 덧셈에는 닫혀있지 않네요.

문제 2: 앞서 정의한 $Y$ 는 곱셈에 닫혀있나요?

군과 집합의 결정적인 차이는 이 연산에 있습니다. 집합은 각 원소들이 개별적인 객체로, 서로 어떠한 연관성도 가지지 않습니다. 반면, 군에서는 연산이 정의되어있어, 군의 임의의 두 원소는 연산을 통해 새로운 값을 내놓습니다. 집합에 비하면 훨씬 더 유기적인 구조라고 볼 수 있겠습니다.

이번에는 두번째에 명시된 결합법칙(Associativity)에 대해서 살펴봅시다. 결합법칙이란 연산자가 두 번 이상 나올 때, 계산의 순서에 상관없이 같은 값이 나오는 성질을 말합니다. 예컨대 덧셈과 곱셈은 결합법칙을 만족합니다. 임의의 $a,b,c$ 에 대해서 $a+(b+c) = (a+b)+c$ 을 만족합니다. 곱셈 또한 마찬가지로 $a(bc) = (ab)c$ 를 만족하니 결합법칙이 성립하는군요.

문제 3: 결합법칙이 성립하지 않는 연산에는 어떤 것들이 있을까요?

자 그렇다면 이번엔 항등원(Identity element)에 대해서 알아볼게요. 항등원의 정의는 다음과 같습니다. $*$ 라는 연산자의 항등원 $e$ 는 임의의 원소 $a$ 에 대해서 $a*e = e*a = a$ 를 만족한다. (일반적으로 항등원은 $e$ 로 표기합니다.) 이번에도 한번 예제를 살펴볼까요? 덧셈연산자의 경우를 생각해봅시다. 임의의 숫자 $a$ 에 대해서 $a+e = a$ 그리고 $e+a = a$ 를 만족하는 $e$ 는 무엇일까요? 네 바로 0입니다. 그렇다면 곱셈의 경우는 어떨까요? (중학교 과정에서 배웠던 것 처럼 앞으로 두 미지수 사이의 곱셈 기호는 생략하겠습니다.) $ae = ea = a$ 를 만족하는 $e$ 는 무엇일까요? 바로 1입니다. 그러므로 0을 덧셈에 대한 항등원, 1을 곱셈에 대한 항등원이라 정의합니다. 즉, 두번째 조건은 덧셈 연산자가 정의된 군에는 0이, 곱셈 연산자가 정의된 군은 1을 반드시 포함하고 있어야 된다는 뜻으로 볼 수 있겠습니다.

마지막으로 역원(Inverse element)에 대해서 알아볼까요? 이번에도 마찬가지로 연산자를 $*$ 로 표기할게요. 이 연산자의 역원을 $e$ 라 표기할 때, 임의의 원소 $a$ 의 역원은 $a*b = b*a = e$ 를 만족하는 원소 $b$ 를 일컫습니다. 마찬가지로 덧셈과 곱셈의 경우를 살펴볼까요? 덧셈의 경우 $a$ 라는 값의 역원은 몇이어야 할까요? 방금 전 단락에서 덧셈의 항등원은 0이라고 했습니다. 즉, $a+b = 0$ 그리고 $b+a = 0$ 을 만족하는 $b$ 가 바로 $a$ 의 역원이 되어야겠군요. 네 바로 $-a$ 가 $a$ 의 역원이 되어야겠습니다. 그렇다면 곱셈의 경우는 어떨까요? 곱셈의 경우 항등원은 1이라고 앞서 말했죠? 그러므로 곱셈에서의 $a$ 의 역원은 $ab = 1$ 그리고 $ba= 1$ 을 만족하는 $b$ 가 바로 $a$ 의 역원이 되겠군요. 그렇습니다, $a$ 의 역원은 $1/a$ 이어야 합니다. 단 주의할 점은 $a$ 가 0인 경우는 $1/a$ 가 정의되지 않는다, 즉 0의 곱셈의 역원은 존재하지 않는다는 점입니다.

자, 그렇다면 다시 세가지 조건을 차근차근히 음미해볼게요. 집합 $X$ 가 군으로 정의되기 위해서는, 첫번째로 이항연산자가 정의되어야 하고, 해당 집합의 임의의 두 원소에 이항연산을 취한 결과가 여전히 $X$ 에 포함되어야, 즉 닫혀있어야 합니다. 그리고 그 이항연산자에 따른 항등원이 포함되어야 하며, 마지막으로 각 원소의 역원 또한 포함되어야 합니다. 이 경우 만약 $*$ 이 연산자로 사용되었다면 이 군을 $(X,*)$ 로 표기합니다. 단순히 $X$ 라고 표기하지 않는 이유는 이것이 집합이 아니라 군임을 명시하기 위함입니다.

문제 4: 항등원의 역원은 무엇인가요? 반대로 스스로를 역원으로 삼는 모든 원소는 항등원인가요?

만약 여기서 연산자가 덧셈인 경우, 군을 덧셈군(Additive group)이라고 부르고, 곱셈인 경우는 곱셈군(Multiplicative group)이라고 부릅니다. 덧셈과 곱셈은 이항연산자를 두고 두 항의 순서를 바꿔도 그 결과가 같다는 좋은 성질이 있습니다. 즉 $a+b = b+a$ 그리고 $ab = ba$ 라는 성질이죠. 이를 가환성(Commutativity)라고 부릅니다. 만약 가환성이 있는 연산자로 정의되었을 경우, 이 군을 아벨군(Abelian group)이라고 부릅니다. 즉 덧셈군과 곱셈군은 아벨군입니다.

문제 5: 덧셈군은 곱셈군일 수 있나요? 반대로 곱셈군은 덧셈군일 수 있나요?

자 그렇다면 이번엔 몇가지 아벨군의 예제를 살펴볼게요. 가장 기본적인 덧셈군은 무엇이 있을까요? 자연수(Natural number) $\mathbb{N}$ , 즉 $1, 2, 3, \cdots$ 이런 숫자들의 집합은 덧셈군이 될 수 있을까요? 안타깝게도 될 수 없습니다. 항등원 0, 그리고 각 숫자에 대한 역원, 즉 $-1, -2, -3, \cdots$ 들이 없기 때문입니다. 반면 그러한 숫자들을 모두 포함한 정수(Integer) $\mathbb{Z}$ 는 훌륭한 덧셈군입니다. 더욱이, 그 원소의 개수가 무한히 많으니 무한군(Infinite group)이라고도 할 수 있겠습니다.

그렇다면 가장 기본적인 곱셈군에는 무엇이 있을까요? 이번엔 정수 $\mathbb{Z}$ 에서 생각해봅시다. 정수 $\mathbb{Z}$ 는 곱셈군인가요? 안타깝게도 아닙니다. 그 이유로 첫째, 0이 문제가 됩니다. 0의 역원, 즉 1/0은 정의되지 않기 때문이에요.

그렇다면 정수에서 0을 제외하면 곱셈군이 될까요? 1은 스스로 곱셈의 역원이 되고, 마찬가지로 $-1$ 도 그렇군요. 반면 2 이상의 정수는 그 역원이 $1/2, 1/3, \cdots$ 이며 이는 정수가 아니군요. 그렇다면 이러한 분수를 모두 포함한, 그러나 0을 제외한 유리수(Rational number) 집합을 떠올려 봅시다.(이는 $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ 라고 표기합니다.) 첫째, 두 유리수의 곱은 유리수입니다. 그리고 곱은 앞서 언급했듯 결합법칙을 성립하죠. 또한, 곱셈의 항등원인 1은 유리수이니 $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ 에 포함되어있군요. 마지막으로 임의의 유리수 $p/q$ 에 대해서 그 역원은 $q/p$ , 역시 유리수입니다. 그러므로 $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ 은 곱셈군을 이룹니다. 역시 이 곱셈군도 무한히 많은 원소를 포함하므로 무한군입니다.

문제 6: 무리수(Irrational numbers)는 분수로 표현할 수 없는 실수, 예컨대 $\sqrt{2}$ 나 $\pi$ 와 같은 것들이 있습니다. 집합은 종종 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 로 표기됩니다. 일단, 무리수 집합은 덧셈군이 될 수 없습니다. 왜냐하면 덧셈의 항등원인 0이 유리수이기에 이 안에 포함되어있지 않기 때문이죠. 그렇다면 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 에 0을 포함한다면 이는 덧셈군이 될까요? 마찬가지로, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 에 1을 포함하면 이는 곱셈군이 될까요?

그렇다면 이번엔 유한한 덧셈군/곱셈군을 살펴볼까요? 그러기 위해서는 합동 산술(Modular arithmetic)에 대해서 조금 알 필요가 있겠습니다. 합동 산술이란, 임의의 정수를 주어진 수로 나눴을 때 그 나머지로 여기는 연산입니다. 여기서 주어진 수를 모듈로(modulo) 한국어로는 종종 법이라고도 일컫습니다. 예를 하나 들어볼까요? 12이라는 수는 모듈로 5에 대해서는 2와 같습니다. 왜냐하면 12를 5로 나눴을 때의 나머지가 2이기 때문입니다. 반면 12는 모듈로 6에 대해서는 0과 같습니다. 6으로 나눴을 때의 나머지가 없기 때문입니다. 이렇게 모듈로가 정의되면 두 수의 곱과 합 역시 정의가 가능합니다. 예컨대 모듈로 8에 대해서, 6과 7의 합은 13, 이를 8로 나눈 나머지는 5가 됩니다. 이를 $6+7 \equiv 5 \pmod 8$ 로 표기합니다. 곱셈의 경우도 비슷하게 계산합니다. 6과 7의 곱은 42, 이를 8로 나눈 나머지는 2이므로, $6 \cdot 7 \equiv 2 \pmod 8$ 로 표기할 수 있겠습니다. 그러므로 모듈로 8에서의 합동 산술의 결과는 0,1,2,3,4,5,6,7 즉 8개의 경우의 수밖에 없습니다. 덧셈의 경우 이들을 각각 원소로 취급해서 정의한 집합을 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 라고 표기합니다. 마찬가지로 모듈로가 $n$ 인 경우는 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 라고 표기합니다.

자 그렇다면 이번엔 과연 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 가 군이 되는지 한번 따져볼까요? 첫째, 덧셈연산자에 대해서 닫혀있나요? 네 닫혀있습니다. $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 에 두 수를 더한 값을 8로 나눈 나머지는 항상 $0,1, \cdots, 7$ 중 하나이기 때문입니다. 합동 산술에서의 덧셈은 일반 덧셈과 같은 역할을 하므로 역시 결합법칙도 만족합니다. 그렇다면 이 집합에 항등원은 있나요? 네, 0이 항등원의 역할을 톡톡히 해주고 있습니다. 마지막으로 역원은 어떤가요? 원소를 하나하나 살펴봅시다. 1의 경우는 7이 역원의 역할을 할 수 있겠군요. 왜냐하면 1+7은 8이며 이를 8로 나눈 나머지는 0이니까요. 그래서 모듈로 8의 합동 산술에서는 7을 종종 $-1$ 로 표기해주곤 합니다. 즉 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 의 임의의 원소 $n$ 의 역원은 $8-n$ 이라고 할 수 있겠습니다. $n=0$ 인 경우, 이 역원은 8, 즉 0이 됩니다. 그러므로 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 는 위에 제시된 세가지 조건을 모두 만족하니 덧셈군이군요. 이를 모듈로 8의 덧셈군이라 합니다. 더욱이, 그 원소의 개수는 8개 뿐이군요. 유한군(Finite group)입니다. 유한군의 경우 해당 군의 원소의 개수를 기수(order)라고 정의합니다.

문제 7: 일반적으로 $n$ 이 1 이상의 자연수의 경우, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 는 항상 덧셈군을 이루나요? 그렇다면 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 의 기수는 몇인가요?

유한한 덧셈군은 다소 쉽게 정의되었지만 곱셈군은 그렇지 않습니다. 방금전에 본 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 를 다시 살펴봅시다. 이는 곱셈군일까요? 안타깝게도 그렇지 않습니다. 첫번째로 문제를 일으키는 녀석은 바로 0입니다. 곱셈에서의 0의 역원은 존재하지 않는다고 앞서 말씀드렸죠? 합동 산술에서도 다를 바 없거든요. 그러므로 최소한 0을 일단 제외해주어야겠군요. 0을 제외해준다고 문제가 해결될까요? 이번엔 2와 4를 살펴봅시다. 2와 4를 곱하면 8이 되며, 이는 모듈로 8에서는 0이 됩니다. 하지만 0은 이 곱셈군에 포함되지 않는다고 했었죠? 즉 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 에서 0이 제외되었으므로, 군으로서 곱셈에 닫혀있기 위해서는 모듈로 8에서 곱했을 때 0이 되는 모든 원소들 또한 제외해주어야 합니다. 즉 2와 4, 그리고 6도 제외해줘야겠습니다. 6의 경우, 4와 곱하면 모듈로 8에서 0이 되어버리기 때문이죠.

그렇다면 0, 2, 4, 6을 제외한 1, 3, 5, 7은 어떤가요? 일단 모듈로 8에서 1, 3, 5, 7 중 임의의 두 수를 곱했을 때 제시된 네 숫자 중 하나가 나옵니다. 즉 닫혀있군요. 곱셈의 항등원인 1 역시 포함하고 있네요. 마지막으로 역원은 어떤가요? 항등원의 역원은 자기자신이니 [문제 4] 1은 역원이 있군요. 놀랍게도 모듈로 8에서는 3, 5, 7 각각의 역원이 자기 자신입니다. $3\times 3, 5\times 5, 7\times 7$ 을 8로 나눴을 때의 나머지가 모두 1이기 때문입니다. 모듈로 8에서의 1, 3, 5, 7은 곱셈으로 군을 이룹니다. 이를 $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times$ 라고 표기합니다. 여기서 1, 3, 5, 7의 공통점은 무엇일까요? 모두 홀수다? 그것도 좋은 공통점이겠습니다. 하지만 8과 연관지어보면 어떤 특별한 점이 있을까요? 한번 8과 1, 3, 5, 7 각각의 최대공약수(greatest common divisor; g.c.d.)를 살펴볼까요? 모두가 각기 1입니다. 두 수의 최대공약수가 1인 경우 이 두 수를 서로소(coprime)이라고 일컫습니다. 실제로 모듈로 $n$ 에서의 곱셈군은 $n$ 보다 작고 $n$ 과 서로소인 숫자들로 이루어집니다. 1은 그 어떤 숫자와도 서로소이므로, $n$ 이 몇이든 무관하게 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 에 항상 포함되어 있습니다.

문제 8: n이 2에서 10까지에 대해서 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 의 원소들을 모두 나열해봅시다. 어떤 곱셈군이 가장 많은 원소를 포함하고 있나요? $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 군의 기수를 $\phi(n)$ 라고 표기해봅시다. 앞서 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 의 원소는 $n$ 보다 작고 $n$ 과 서로소인 숫자들을 포함하고 있다 했으므로 $\phi(n)$ 은 $n$ 보다 항상 작겠습니다. 그러므로 $\phi(n)/n$ 은 1보다 같거나 클 수 없습니다. $\phi(n)/n$ 이 1에 가깝기 위한 조건은 무엇이 있을까요? 힌트) 소수는 그보다 작은 모든 자연수들과 서로소입니다.

자 이렇게, 유한한 곱셈군의 경우도 살펴보았습니다. 물론 지금까지는 아벨군의 경우, 즉 연산자를 중심으로 피연산자의 순서를 바꿔도 같은 결과를 주는 경우에 대해서만 살펴보았습니다. 다음 시간에는 아벨군이 아닌 무한군과 유한군의 예제를 살펴볼게요.

이번 편은 Biomedical Library에서, 음악 9와 숫자들 – 창세기와 함께 했습니다. 🙂

문제 1: 연산을 하는데에 있어 단 하나의 항만 필요로 하는 연산자를 단항연산자(Unary operator)라고 부릅니다. 단항연산자에는 무엇이 있을까요?

답) 대표적인 예로 미지수가 하나인 함수가 있겠습니다. 임의의 함수 $f(x)$ 에 대해서 $x$ 에 적절한 수를 하나 대입하면 그에 따른 숫자가 나오니 단항연산자로 여겨줄 수 있습니다. 또한 팩토리얼(!)도 좋은 예제라고 할 수 있겠네요. 팩토리얼 연산을 취하기 위해서는 하나의 숫자만 필요하기 때문입니다. (자연수 $n$ 에 대해서 $n!$ 는 $1 \cdot 2 \cdot \cdots n$ 으로 정의합니다.) 또한 함수의 집합의 경우, 미분(‘)도 단항연산자로 여겨줄 수 있습니다.

문제 2: 앞서 정의한 3으로 나눴을 때 나머지가 1인 숫자들의 집합, $Y$ 는 곱셈에 닫혀있나요?

답) 닫혀있습니다. 3으로 나눴을 때 나머지가 1인 숫자들은 모두 임의의 정수 $n$ 에 대해서 $3n+1$ 의 꼴로 표기가 가능합니다. 임의의 $3n+1, 3m+1$ 에 대해, $(3n+1)(3m+1) = 9nm + 3n + 3m + 1 = 3(3nm+n+m) + 1$ 이므로, 3으로 나눴을 때 나머지가 1입니다.

문제 3: 결합법칙이 성립하지 않는 연산에는 어떤 것들이 있을까요?

답) 대표적으로 $-$ 와 $\div$ 가 있습니다. 예컨대 $(5-3)-4 \neq 5-(3-4)$ . 또한, $(6/2)/3 \neq 6/(2/3)$ . 또한 승(^)도 좋은 예제입니다. $(2^1)^2 = 4$ 인 반면, $2^{(1^2)} = 2$ 로 둘의 값은 다릅니다.

문제 4: 항등원의 역원은 무엇인가요? 반대로 스스로를 역원으로 삼는 모든 원소는 항등원인가요?

답) 연산자 $*$ 에 대해서 $e$ 의 역원을 $x$ 라고 가정합시다. 그렇다면 $x*e = e$ 를 만족해야 합니다. 하지만 항등원 $e$ 의 특성상, $x*e = x$ 입니다. 그러므로 $x = e$ 가 됩니다. 즉, 항등원의 역원은 항등원 자신입니다.

반면 역원이 자신이라고 항상 항등원이 되는 것은 아닙니다. 본문중에 서술되었던 0을 제외한 무리수 군, $\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ 을 떠올려봅시다. 여기서 $-1$ 은 $(-1)(-1) = 1$ 이므로 자기자신을 역원으로 삼습니다. 하지만 $-1$ 은 항등원이 아닙니다.

문제 5: 덧셈군은 곱셈군일 수 있나요? 반대로 곱셈군은 덧셈군일 수 있나요?

답) 둘 다 불가능합니다. 덧셈군은 0을 포함해야 하지만, 곱셈에서는 0의 역원이 정의될 수 없으므로, 곱셈군은 0을 포함해서는 안됩니다.

답) 두 경우 다 군이 되지 않습니다. 왜냐하면 무리수는 덧셈에, 그리고 곱셈에 닫혀있지 않기 때문입니다. 앞서 두 유리수의 합은 유리수임을 언급했습니다. 이는 다시 말해, 무리수 $x$ 와 유리수 $y$ 를 가정하면 $x-y$ 는 무리수여야 된다는 의미입니다. 만약 $x-y$ 가 유리수라면 $(x-y) + y = x$ 는 두 유리수의 합이므로 유리수여야 하며, 이것은 $x$ 가 무리수라는 초기조건과 모순됩니다. 그러므로 $1-\sqrt{2}$ 는 무리수입니다. 보다시피 $(1-\sqrt{2}) + \sqrt{2}$ 는 두 무리수의 합이며 그 결과는 1로 유리수입니다. 그러므로 무리수는 덧셈 안에 닫혀있지 않습니다. 마찬가지로 $2/\sqrt{2}$ 는 무리수이며, $\sqrt{2} \cdot 2/\sqrt{2}$ 는 두 무리수의 곱이나, 그 결과는 2로 유리수입니다. 마찬가지로 무리수는 곱셈 안에 닫혀있지 않습니다.

문제 7: 일반적으로 $n$ 이 1 이상의 자연수의 경우, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 는 항상 덧셈군을 이루나요? 그렇다면 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 의 기수는 몇인가요?

답) 네, 항상 군을 이룹니다. 덧셈은 여전히 결합법칙을 만족하고, 0이 항상 포함되어있으며, 임의의 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 의 원소 $k$ 에 대해서 $n-k \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 가 역원이기 때문입니다. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 는 $0, 1, \cdots, n-1$ 을 포함하고 있기에, 기수는 $n$ 입니다.

답) $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^\times = \{1\}$ , $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times = \{1,2\}$ , $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times = \{1,3\}$ , $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times = \{1,2,3,4\}$ , $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^\times = \{1,5\}$ , $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times = \{1,2,3,4,5,6\}$ , $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times = \{1,3,5,7\}$ , $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^\times = \{1,2,4,5,7,8\}$ , $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^\times = \{1,3,7,9\}$

$n$ 이 소수인 경우, 소수의 약수는 1과 $n$ 자신 뿐이므로, $n$ 보다 작은 모든 자연수가 $n$ 과 서로소 관계를 이룹니다. 그러므로 $n$ 이 소수인 경우 $\phi(n) = n-1$ 이므로, $\phi(n)/n$ 이 1에 가깝기 위한 조건은 $n$ 이 아주 큰 소수여야 됩니다.

임의의 $n$ 에 대해서 $\phi(n)$ 의 값을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \phi(n) = n\prod_{\substack{p \mid n \\ p \text{ prime }}}\left(1-\frac{1}{p}\right)$

$\phi$ 는 오일러 피-함수(Euler phi function)라 불립니다.

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